Мультипликативный эффект, в регрессии Опции

[Pinus]

Предлагаю обсудить эффект взаимодействия переменных в регрессии. Думается, что не так здесь все просто, прежде всего в задании функции этого эффекта. Возьмем такой пример: предполагается, что на переменную Y влияют два фактора X и Z. Предполагается квадратичная зависимость Y от X и линейная от Z. Все переменные количественные и непрерывные.
Общее уравнение запишем: Y = b0 + b1*X + b2*X^2 + b3*Z + b4*Z*X.
Возникает вопрос, почему мультипликативный эффект обязательно b4*Z*X? Почему он не может быть, например: b4*Z*X^2 или b4*Z*(X + X^2). Да и вообще, в принципе взаимное действие X и Z на Y здесь наверно может быть каким угодно, хоть b4*Z^3*[1-EXP(X^2)].
Если это так, то возникает вопрос: а как узнать какая функция у эффекта взаимодействия? Если, например для X и Z мы можем предполагать вид функции из теоретических соображений, предыдущих исследований или скажем по категоризованным графикам, то как быть с X*Z?

Сообщение отредактировал Pinus - 26.07.2010 - 16:02

[Pinus]

В книге Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн. 1 / Пер. с англ. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1986. на стр. 278 рассматривается мультипликативная модель вида:
Y=α*X1^β*X2^γ*X3^δ*ε,
где α, β, γ, δ - неизвестные параметры; ε - мультипликативная случайная ошибка.
Для использования МНК делается логарифмическое преобразование:
lnY=lnα+β*lnX1+γ*lnX2+δ*lnX3+lnε,
и тогда к модели можно применять стандартные методы линейной регрессии, с учетом того, что нужно будет делать анализ не остатков, а логарифмов остатков.
На следующей странице приводится другая модель:
Y=α*X1^β*X2^γ*X3^δ+ε,
для которой утверждается, что здесь нельзя сделать линейное преобразование и для получения оценок параметров надо использовать итерационные методы.

В связи с этим возникают вопросы:
1. Как понимать мультипликативную случайную ошибку;
2. Если, аналогично, имеются обычные квазилинейные функции вида:
Y=α*X^β; Y=exp(X/α) и т.д., то мы можем делать преобразование к линейному виду, только если предполагаем, что ε мультипликативна? Иначе итерационные процедуры?

Сообщение отредактировал Pinus - 23.09.2010 - 07:34

[плав]

В книге Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн. 1 / Пер. с англ. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1986. на стр. 278 рассматривается мультипликативная модель вида:
Y=α*X1^β*X2^γ*X3^δ*ε,
где α, β, γ, δ - неизвестные параметры; ε - мультипликативная случайная ошибка.
Для использования МНК делается логарифмическое преобразование:
lnY=lnα+β*lnX1+γ*lnX2+δ*lnX3+lnε,
и тогда к модели можно применять стандартные методы линейной регрессии, с учетом того, что нужно будет делать анализ не остатков, а логарифмов остатков.
На следующей странице приводится другая модель:
Y=α*X1^β*X2^γ*X3^δ+ε,
для которой утверждается, что здесь нельзя сделать линейное преобразование и для получения оценок параметров надо использовать итерационные методы.

В связи с этим возникают вопросы:
1. Как понимать мультипликативную случайную ошибку;
2. Если, аналогично, имеются обычные квазилинейные функции вида:
Y=α*X^β; Y=exp(X/α) и т.д., то мы можем делать преобразование к линейному виду, только если предполагаем, что ε мультипликативна? Иначе итерационные процедуры?

Насколько я понимаю, речь идет о линеаризируемых и не линеаризируемых моделях. Первый тип является GLM, второй - нет. На самом деле в большинстве случаев и GLM будет использовать итерационные процедуры. Подозреваю, что старая версия книги (1986 г.) предполагает по возможности нормализацию ошибки для дальнейшего использования OLS, а не ML. ML практически всегда итерационна и сейчас и для моделей первого типа используется ML, а не OLS (хотя результаты будут одинаковы).