Абсцисса пересечения двух гауссиан, для разных N Опции

[nokh]

Для каждого распределения известны параметры мю и сигма, а также объём выборки (в долях единицы).
Поиск по теме дал несколько аналогичных результатов.
Например, здесь дан вывод уравнения для нахождения абсциссы точки пересечения через решение квадратного уравнения:
https://stats.stackexchange.com/questions/3...asiest,2(x)%3D0.
А здесь те же формулы даны для matlab и подходят для R: https://stackoverflow.com/questions/5202142...n-distributions
Здесь на пайтоне: https://stackoverflow.com/questions/4136865...etween-gaussian

Я завёл всё это в Excel - работает (приложил). Но этот подход предполагает равенство объёмов выборок. На практике же они обычно разные и если использовать разделение смеси распределений, то тут эта формула не работает. Я приложил картинку, где реальные данные приближаются тремя распределениями. Пакет mixdist выдал:
Parameters:
pi mu sigma
1 0.09875 1.417 0.9399
2 0.84174 5.608 1.4961
3 0.05951 10.260 1.2689

Используя эти параметры я не могу найти абсциссы пересечения кривых. Например, подстановка мю и сигм в формулу выше даёт для двух первых распределений значение 3,1011, тогда как при имеющемся соотношении плотностей распределений визуально должно быть около 2,4. Ясно, что по мере уменьшения доли первой группы в выборке эта точка будет всё сильнее сдвигаться влево, пока не скатится по левой горке распределения второй группы к нулю (визуально).

Прошу помочь идеями или кодом, как найти искомое. На худой конец наверное можно как-то "выпотрошить" функцию plot, чтобы найти точку двух кривых с одинаковой ординатой и выбрать её абсциссу (хотя не хотелось бы привязываться к конкретному софту, т.к. пакет PAST выдаёт немного отличные параметры).

Сообщение отредактировал nokh - 18.02.2022 - 19:19

Эскизы прикрепленных изображений

 

[Игорь]

Для каждого распределения известны параметры мю и сигма, а также объём выборки (в долях единицы).
... подход предполагает равенство объёмов выборок

1. Численности в формулы не входят - равенство объемов не требуется.
2. Формулы для нормальных кривых. Если распределение отличается от нормального (в том числе двухвершинное, возможно, что смесь), нужно выводить новые формулы.
3. Формулы основаны на логарифмировании - понятно, что нужно развалить функцию на простые составляющие. Но при этом не говорится, что применяя операцию взятия логарифма, мы накладываем ограничение на область определения функции.
4. Методика не годится для эмпирических функций распределения.

Теоретические функции распределения - не такие уж сложные математические объекты. Во всяком случае, их формулы и свойства известны. Можно попробовать сразу численно решать нелинейное уравнение f1 - f2 =0.

Сообщение отредактировал Игорь - 18.02.2022 - 11:07