Факторный анализ, смешанных признаков Опции

[Игорь]

Хотелось бы предложить для обсуждения следующую проблему. Факторный анализ, как известно, связан с решением проблемы собственных значений, варимаксом, оценкой общностей и т.д., в зависимости от метода. Но основное - построить корреляционную матрицу. При использовании количественных признаков корреляционная матрица состоит из коэффициентов корреляции Пирсона, посчитанных из взятых попарно признаков. Построенная таким образом корреляционная матрица является положительно полуопределенной (матрицей Грама), что гарантирует неотрицательность собственных значений (эквивалентных мере дисперсии, объясняемой факторами) и действительность собственных векторов, которыми можно изобразить близость признаков.
Некоторыми авторами, однако, выдвигалась идея построения корреляционной матрицы из коэффициентов корреляции для порядковых признаков (Кендалла, Спирмена) и даже коэффициентов типа корреляции для бинарных и смешанных признаков (в том числе подход Гауэра). Вот тут и начинаются проблемы. Авторы, очевидно, дальше теоретических изысканий не шли, а зря. Расчеты показывают, что корреляционная матрица, построенная из неколичественных признаков, матрицей Грама часто не является со всеми вытекающими сложностями (отрицательные собственные значения и комплексные собственные вектора), препятствующими интерпретации результатов расчета.
P.S. Вопрос возник в ходе работы по проверке и активации в ПО StatAnt факторного анализа по просьбам пользователей.

Сообщение отредактировал Игорь - 21.02.2023 - 21:09

[Игорь]

Аналогичная проблема в многомерном шкалировании, которое с точки зрения реализации - то же, что и факторный анализ с той разницей, что в факторном анализе исследуются параметры (т.н. техника R/P), в многомерном шкалировании исследуются объекты (это совпадает с техникой Q/O факторного анализа, если в качестве меры различия взять Евклидову метрику, а не коэффициент корреляции, точнее 1 - коэффициент корреляции). Метод также реализован в ПО.
Расчеты показывают, что матрицы различий, построенные на основе метрик, отличных от Евклидовой, приводят к появлению отрицательных собственных значений при решении проблемы собственных значений матрицы скалярных произведений, что автоматически приводит к наличию комплексных собственных векторов, которые с трудом поддаются интерпретации в терминах многомерного шкалирования. Приходим к следующей идее. Для факторного анализа может применяться только коэффициент Пирсона, для многомерного шкалирования - только Евклидова метрика. Причем и в том, и в другом случае - безотносительно к шкале измерения признаков и без какой-либо модификации ПО. Это существенно упрощает реализацию - пользователю нет необходимости выбирать метрику. Все остальное "от лукавого".
Да, графики готовы, в том числе и для многомерного шкалирования. Они немного отличаются тем, что параметров в пространстве факторов обычно немного, объектов в пространстве стимулов весьма много. Поэтому, соответственно, не имеет смысла выводить легенду, а вместо этого возле каждого объекта в пространстве стимулов ставится его номер. Такого типа графики могут использоваться и в некоторых методах кластерного анализа.
P.S. Все классические источники по факторному анализу (Харман, Иберла, Лоули, Окунь) и многомерному шкалированию (Торгерсон, Шепард, Дэйвисон) переведены на русский язык и полностью закрывают проблемы.

Сообщение отредактировал Игорь - 7.03.2023 - 18:12