Нормальное распределение, интерпретация результатов Опции

[Ната]

Всем привет! Кто может по-проще объяснить, как определить нормальность распределения? Например, получены вот такие результаты: средняя 1,02 ст. ошибка средней 2,5 сигма 8,7, число наблюдений 12 или средняя 3,2 ст. ошибка средней 0,9 сигма 1,3 число наблюдений 2 (маловато, но больше пока нет). Не рассчитываю пока критерий Стюдента, не могу "врубиться" в нормальность распределения, а может оно ассиметрично?

[Игорь]

Если тип распределения некоторой случайной величины нам неизвестен, располагая случайной эмпирической выборкой (реализацией случайной величины), мы можем захотеть проверить, совпадает ли эмпирическая функция распределения случайной величины с некоторой заданной или вычисленной по выборочным параметрам теоретической функцией эмпирического распределения. При такой постановке говорят о проверке статистической гипотезы согласия.
Частным случаем данной задачи является установление нормальности распределения (соответствия эмпирической функции распределения непрерывной количественной случайной величины и нормальной функции распределения). Напомним слова Фишера: «Отклонения от нормальной формы распределения, если только они не представляются явными без всякой оценки, могут быть обнаружены только в случае большой выборки; при малых же выборках оказывается невозможным определение сколько-нибудь надежных статистических критериев для этих отклонений». На этом основании некоторыми авторами делаются выводы, что 1) для малых выборок проверить нормальность нельзя, 2) для большой выборки проверять нормальность не нужно - она и так нормальная и 3) вся параметрика смысла не имеет. Это глупость и заблуждения. Ибо: 1) к счастью, за полвека, прошедшие со времени данной публикации, были выполнены определенные исследования, 2) большая выборка может и не быть нормальной: возьмите 300 нулей и проверьте нормальность и 3) параметрические тесты могут быть устойчивы к определенным отклонениям от нормальности.
Проверка нормальности распределения может быть выполнена с помощью специальных статистических критериев, в зависимости от анализируемых характеристик эмпирической выборки. Современными авторами обычно выделяются критерии следующих типов. Типы тестов могут иметь различные наименования, более или менее верно отражающие их суть:
- критерии функций распределения (например, типа Колмогорова, типа Эппса-Палли),
- критерии, основанные на регрессии (например, Шапиро-Франсиа),
- критерии моментов, включая составные тесты,
- информационные критерии (например, Васичека),
- графические (глазомерные) методы.
Наиболее полный (на русском языке) обзор классических и современных методов дан в книге "Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006." Книга свежая, в магазинах и библиотеках должна быть.
Процедура проверки стандартная. Берутся варианты выборки, подставляются в формулу расчета статистики критерия (зависит от конкретного метода). Полученная статистика сравнивается с критическим значением и на ближайшем стандартном уровне значимости принимается или не принимается гипотеза о том, что проверяемый параметр выборки (функция распределения, эксцесс, коэффициент асимметрии - все же зависит от метода) соответствует нормальному распределению.
Отметим наличие множества нюансов и "подводных камней" в решении задачи проверки нормальности. Следует обратить особое внимание на т.н. сложность гипотезы.

Если зайдет речь о программном обеспечении, не напрягающем финансовые возможности пользователя, следует отметить бесплатную версию пакета STADIA. Ссылку на нее я давал в теме, посвященной программному обеспечению. О применении критериев согласия в данном пакете см. книгу
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. - М.: ИНФРА-М, 1999. Есть и более позднее издание. У меня, к сожалению, под рукой только упомянутый источник.