Анализ данных типа времени жизни, некоторые практические вопросы Опции

[Игорь]

При анализе данных типа времени жизни возникает необходимость расчета дисперсии функции выживания. Она необходима для расчета ДИ.

На с. 238 книги "Эпидемиология" Власов приводит результаты, рассчитанные программой STATISTICA. Результаты вызывают сомнение (почему стандартная ошибка так растет к концу интервала - это не подтверждают расчеты). К тому же Власов дает ссылку на свою же формулу, представляющую собой просто дисперсию доли. Расчет именно по данной формуле практически не имеет ничего общего с приведенным листингом.

С другой стороны, Кокс в книге "Анализ данных типа времени жизни" на с. 53 дает формулу Гринвуда, расчет по которой просто не получается. По другой из формул (4.6, там же) результат выглядит правдоподобным, но отличается от результатов Власова.

Во-вторых, для ДИ Кокс приводит формулу, в которой фигурирует стандартное отклонение, а не стандартная ошибка. Если произвести вычисление по данной формуле, ДИ просто не получаются разумными.

Итак, вопрос. Как считать дисперсию и ДИ функции выживания?

[плав]

Дисперсия логарифма функции дожития:
\sum_{t_i<t}(d_i/(r_i-d_i)/r_i,
==Tex==$\sum_{t_i<t}\frac{d_i}{(r_i-d_i)r_i}$
где d_i - количество умерших в i-ом интервале, r_i - количество живых на начало i-го интервала
Соответственоо для S(t) дисперсия
S(t)^2*\sum_{t_i<t}(d_i/(r_i-d_i)/r_i,
==Tex==$S(t)^2*\sum_{t_i<t}\frac{d_i}{(r_i-d_i)*r_i}$
очевидно, что дисперсия будет "расползаться" к концу срока (в правой части графика выживаемости), поскольку количество живых на начало интервала будет снижаться.
Формула Пето
var(S(t))=S(t)^2*(1-S(t))/R(t)
==Tex== $var(S(t))= \frac{S(t)^2*(1-S(t))}{R(t)}$
где R(t) - численность группы риска
В формуле Пето дисперсия пересчитывается в момент цензурирования или смерти, в формуле Гринвуда - только смерти.
Расчет ДИ может белаться двумя путями:
S(t) +/- z(alpha/2)*\sqrt(Var(S(t))
Возможная проблема - выход ДИ за пределы 0 или 1
Рассчитать величину V(t)=ln(-ln(S(t))) - двойной логарифм функции выживания. Ее дисперсия Var(V(t))=Var(S(t))/[S(t)*ln(S(t))]^2
==Tex==$Var(V(t))=\frac{Var(S(t))}{[S(t)*ln(S(t))]^2}$
Доверительный интервал V(t)+/-z(alpha/2)*\sqrt(Var(V(t)).
==Tex==$V(t) \pm (alpha/2)*\sqrt{Var(V(t)}$
Доверительный интервал для функции выживания получается путем двойного экспоненциирования полученных границ.

Cantor A., SAS Survival Analysis Techniques for Medical Research., SAS Institute, 2003, p.23-25

P.S. поскольку формулы текстом набирать неудобно, после ==Tex== идут latex'овские формулы, можно посмотреть в любом редакторе, совместимом с ним.