кем можно работать во время заочной аспирантуры? Только ли врачом по той специальности, по которой диссер, или можно где-то и кем-то другим? Например, мед.предом?

У Вас имеется диплом об окончании ВУЗа, т.ч. если работодатель берет на работу, то можно. Тем более аспирантура заочная.

По той специальности, по которой есть сертификат специалиста!

Без него, по хорошему, и брать то не должны...