Добрый вечер.
Совсем запуталась с отношением правдоподобий.
LR+=Se/(1-Sp). Sp - вероятность наличия выявить маркер у больных, (1-Sp) - вероятность наличия выявить маркер у здоровых. Если LR+ - отношение правдоподобий, то как вероятности стали правдоподобиями?
Насколько я поняла, термин вероятность мы используем, когда хотим описать ?возможность?(?вероятность?) определенного исхода с учетом определенного значения параметра модели. Википедия также добавляет, что "без ссылки на любые наблюдаемые данные". Правдоподобие, в свою очередь, описывает ?возможность?(?вероятность?) определенного значения параметра модели, на основе наблюдаемых данных.
Верно ли я понимаю, что вероятность(Данные|гипотеза) = правдоподобие (гипотеза|данные). Т.е. в первом случае мы определяем вероятность некоторого исхода при условии, что есть определенная связь маркера и болезни (например, ОШ = 10), а экспериментальных данных у нас нет. Во втором случае оцениваем правдоподобие гипотезы о том, что есть определенная связь между маркером и болезнью (ОШ=10), при тех данных, что мы наблюдаем (таблица сопряженности 2х2).

Почему этот показатель не назван отношениеv вероятностей? Т.е. во сколько раз выше вероятность выявить маркер у больных по отношению к вероятности у здоровых. Почему в данном случае переходят к правдоподобиям?

Понятия вероятности и правдоподобия тесно связаны. Если вероятность позволяет нам предсказывать неизвестные результаты, основанные на известных параметрах, то правдоподобие позволяет нам оценивать неизвестные параметры, основанные на известных результатах.

Да-да, я прочитала статью в Википедии, а также кое-что еще, спасибо! Но вопросы остались (в первом сообщении).
Почему в этом показателе мы оперируем не вероятностями, а правдоподобиями?

Если мы используем отношение правдоподобия в качестве байесовского фактора, то, мне кажется, я поняла, почему мы переходим к отношению правдоподобий: апостериорные шансы=априорные шансы * ОП(H1|Data1/H0|Data0). При этом мы ссылаемся (Data) на данные, которые были получены в результате какого-то теста и на основе этого сделали вывод, что при этих данных, гипотеза1 в N раз правдоподобнее гипотезы 0. Верно?
И мы не используем в данном случае термин вероятность, т.к. вероятность, применительно на нашему случаю, означала бы "что если мы возьмем еще одну выборку и при этих же условиях (ОШ=10), вероятность наличия заболевания среди экспонированных будет в 10 раз больше, чем среди неэкспонированных (допустим, что ОШ=ОР)?

Тут еще один вопрос. В контексте отношения правдоподобий гипотеза 1 будет формулироваться как "каково правдоподобие, что при данном "раскладе" данных ОШ=10 (например)", а нулевая гипотеза как "каково правдоподобие, что при данном "раскладе" данных ОШ не равно 10? Или же нет?

К сожалению, на русском языке литературы очень мало. А на английском я или не понимаю (совсем другой уровень подачи - для конкретных математиков) или же все на каких-то абстрактных примерах. Пытаюсь все разложить по полочкам, но возникает много вопросов. , пожалуйста, разобраться с этими базовыми вопросами.

Вот и не знаю теперь - откровенную глупость спросила или времени у участников форума нет. В любом случае, буду очень рада помощи.

Во первых строках своего письма обращаю ваше внимание на то, что нет в природе никакого правдоподобия в чистом виде. Фишер (1912) вводил понятие "функция правдоподобия", каковую с тех пор понимают как функцию плотности p(x, Theta) (относительно некоторой сигма-конечной меры (мю)) случайной выборки Х, рассматриваемую как функцию параметра Theta, в которой аргумент х фиксирован.
Важную роль в статистике играет частный случай, когда в качестве меры mu выступает распределение P(Theta0) случайной выборки Х, относящееся к некоторому фиксированному значению Theta0 параметра Theta. В каковом случае функция правдоподобия dP(Theta)/dP(Theta0)(x) называется отношением правдоподобия.

Причем тут таблицы сопряженности и отношения шансов мне не ведомо.

Я имела в виду отношение правдоподобия, определяемое в результате оценки информативности диагностического теста.
https://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_ra...gnostic_testing

А именно:
LR+=Se/(1-Se)=Pr(T+|D+)/Pr(T+|D-)

Я так понимаю, что в данном случае оценивается правдоподобие двух гипотез. Как их правильно сформулировать?

Здесь вообще нет никаких гипотез, правдоподобие которых вас просили бы оценить и уж тем более корректно сформулировать . Зато есть отношение правдоподобия как частное от деления двух условных функций правдоподобия: Pr(T+|D+) - условной вероятности наблюдать положительный результат теста (Т+) при условии, что болячка действительно существует (D+), и вероятности наблюдать положительный результат теста при условии, что болячки-то на самом деле нетути. Разумеется, в дискретном случае плотности заменены на вероятности.

Так-так. А как это можно соотнести с этим:

Все равно не могу до конца понять, когда вероятность становится правдоподобием.

Не могли бы вы немного подробнее остановиться на этом:


Как это можно применить в случае, когда мы оцениваем связь маркера и болезни?

/ворчливо/
Вот вечно мне самые трудные билеты на экзаменах достаются...


Буквально. Подставляете значение параметра в функцию распределения с.в. - получаете вероятность наблюдать выборочное значение. Обратная задача - по имеющейся выборке оценить параметры модели - разумеется, методом максимального правдоподобия.


Когда наблюдается выборка из параметрического семейства, и вероятность / плотность понимается как функция от параметра.


Традиционным дедовским способом: перелопачивать ссылки из статьи в Википедии и смотреть, в какой из них показана логика превращения данного теоретического конструкта в LR+/LR-

Спасибо вам большое за помощь. Чем больше читаю, тем больше вопросов. Наличие такого форума с такими участниками - большое подспорье в нелегком деле.

Много читала, много думала. Даже вручную построила функцию вероятности для простенькой выборки.

1. Если позволите еще несколько вопросов. В случае непрерывной с.в. мы определяем ее функцию от значения х. Чтобы определить вероятность, что параметр находится в интервале х1-х2, то вычисляем интеграл функции в данном пределе. Так? А что делать, если нужно получить точечную оценку вероятности (т.е. нужно оценить вероятность, скажем, х1)? Не могу разобраться.

2. Идем "в обратную сторону". Если известны значение х1 и ст.отклонение, то методом максимального правдоподобия можем выбрать наиболее вероятные параметры функции распределения. В случае нормального распределения - это мат. ожидание и дисперсия. Эти параметры?

3. Даже если у нас маркер представлен непрерывной с.в. х, то мы можем: а) определить вероятность получения определенного значения х1 при данных параметрах модели у лиц с маркером и без маркера, а потом сравнить эти вероятности. Б) у нас есть оценка маркера (х1 среднее и СО). Мы можем оценить правдоподобие что это значение х1 более вероятно получить у больных (т.е. при параметрах модели, соответствующим больным), чем у здоровых. Так?

Ох, Дарья, Дарья... "В действительности все не так, как на самом деле" (с)

1. Смысл всех этих правдоподобий заключается в том, что мы изучаем совместное распределение элементов выборки. Допустим, перед нами набор чисел, который мы считаем совокупностью независимых, одинаково распределенных с.в. из нормального распределения. Нормальное распределение - двухпараметрическое. Далее мы составляем функцию правдоподобия как произведение индивидуальных плотностей элементов выборки. Сэр Рональд Элмс Фишер учит, что нас в данном случае интересуют такие значения параметров, которые доставляют экстремум (максимум) функции правдоподобия. Поэтому мы логарифмируем полученную функцию правдоподобия, при этом произведение становится суммой, с суммами работать удобнее. Находим производные функции правдоподобия по параметрам, приравниваем их к нулю и получаем для нашего случая параметр Theta1 как выборочное среднее, параметр Theta2 - смещенная оценка выборочной дисперсии. И вся любовь.

Из сказанного с необходимостью следует, что ваши пп. 1-2 - лютая чушь.

3. Здесь дело вовсе не в природе маркера как такового. Можно изучать и дискретный (дихитомический) показатель типа "Есть кашель/Нет кашля". Здесь мы в любом случае имеем 4-х клеточную таблицу сопряженности с результатами работы диагностического теста: его способностью здоровых определять как здоровых (чувствительность) и больных как больных (специфичность). Здесь мы считаем, что имеется две выборки: одна состоит из здоровых пациентов, которую тест разбивает на две подвыборки: верно классифицированных как здоровые и ошибочно классифицируемых как больные. Аналогично со второй выборкой: верно классифицируемых как больные и ошибочно как здоровые. Я только не могу сходу вам ответить, упомянутые LR+ и LR- - это строгие определения отношения правдоподобия, или они так названы для красного словца.

Сейчас читала, сопоставляла, написанное вами, с другими источниками. Вроде, что-то начинает проясняться, но пока не посчитаю все хоть раз вручную по шагам, то все равно не пойму.
Буду читать и пробовать считать дальше.

В любом случае - спасибо большое. Буду разбираться.

Пока не пойму, что именно вы собираетесь считать, не готов пожелать вам успеха. Для вас сейчас сверхзадача - не пытаться трактовать функцию правдоподобия как субъективную вероятность в бейесовском смысле. Или в кухонно-бытовом. А то так и будете всю оставшуюся жизнь выяснять "когда и при каких обстоятельствах вероятности становятся правдоподобиями" и сводить с ума простодушных парней, вроде меня, рассуждениями о правдоподобности нулевых и альтернативных гипотез.

Все сказанное выше - просто упражнение в занудстве.

Я просто пыталась посчитать вероятность получить определенное значение, а также правдоподобие. Суть моих рассуждений отражена в первых двух пунктах несколькими постами выше, но, как выяснилось, обсуждать это уже не имеет смыла. Эх, а я так обрадовалась, что хоть немного разобралась.

Про LR я вычитала, когда разбиралась с оценкой связи маркера и заболевания (Se, Sp, PPV, NPV, AUC, J-статистика (коэфф. Юдена, вроде), F1 и т.д.). Если с этими показателя мне все более-менее понятно, то с LR - нет. В принципе, можно все оставить, как есть, но стало просто интересно, почему именно отношение правдоподобия (тем более, почти в каждом источнике говорится, что правдоподобие и вероятность тесно связаны, но это не одно и то же). Когда я искала, что почитать про LR, встретила очень много отсылок к Байесовскому методу. Пишут, что LR представляет собой простейший вариант Байесовского фактора (как вы и написали - субъективной вероятности). Поэтому LR интересовало меня именно в этом аспекте.

Буду читать дальше. Если будут конкретные вопросы, простите, осмелюсь задать тут. Спасибо вам большое!

Для непрерывных величин вероятность принять точное значение (=x1) равна нулю, т.к. интеграл по нулевому отрезку от x1 до x1 равен нулю.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: мат. ожидание и дисперсия, поэтому функция правдоподобия должна от них зависеть. Для нахождения максимума дифференцируем функцию правдоподобия по этим двум параметрам, приравниваем частные производные к нулю и решаем систему двух получившихся уравнений относительно мат. ожидания и дисперсии.


а) Вероятность получения определенного значения маркера для непрерывной с.в.равна нулю (см.п.1)
б) Если у нас есть правдоподобие f(x), т.е. вероятность получения среднего и дисперсии для двух групп пациентов, то мы можем предсказывать к какой группе принадлежит конкретный индивидуум. Если f(x)>1/2, то это контроль, если f(x)<1/2 - случай.